\section{$\symbf{\lambda}$-矩阵在初等变换下的标准形}

\begin{frame}{$\symbf{\lambda}$-矩阵的初等变换}

$\lambda$-矩阵也可以有初等变换。

\begin{definition}
  $\lambda$-矩阵上的如下三种行、列变换统称为 $\lambda$-矩阵的\emph{初等变换} (elementary operation)：
\begin{enumerate}
    \item 矩阵的两行 (列) 互换位置;

      \item 矩阵的某一行 (列) 乘非零常数 $c$;

      \item 矩阵的某一行 (列) 加另一行 (列) 的 $\varphi(\lambda)$ 倍， 其中 $\varphi(\lambda)\in P[\lambda]$. 

    \end{enumerate}
  \end{definition}
  \pause
  注意第 (2) 类中的$c$不是任意的非零多项式，而是要求为非零数。这是因为我们期望初等变换是可逆的，非零数才能保证可逆性。
\pause
三类初等变换的逆是？\answer

~

\pause
  和以前一样，一系列的初等行（转：列）变换称为\emph{行化简}（转：\emph{列化简}）。
  一系列的初等行或列变换称为\emph{化简} (reduction)。

\end{frame}

\begin{frame}{初等$\symbf{\lambda}$-矩阵及其逆矩阵}

  和数字矩阵的初等矩阵一样， 可以引进\emph{初等$\lambda$-矩阵}（对单位矩阵做一次初等变换所得）。 
  三类初等$\lambda$-矩阵为
  {\small
\[
%  \begin{tikzpicture}
%    \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells,
%  ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
%    {
%      1 \&  \&  \& \& \& \& \\
%      \& \ddots \&  \& \& \& \&  \\
%      \&  \& 1 \&  \& \varphi(\lambda) \& \& \\
%      \&  \&  \& \ddots \& \& \& \\
%      \&  \&  \& \& 1 \&  \&  \\
%      \&  \&  \& \& \& \ddots \& \\
%      \&  \&  \& \& \& \& 1 \\
%    };
%    \node [above=of m-1-5, yshift=-15pt] (phiabove) {第$j$列};
%    \node [right=of m-3-5, xshift=5pt] (phiright)  {第$i$行};
%\end{tikzpicture}
  \begin{aligned}
             \begin{pmatrix}
            1 &&&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 0 &&1&&\\
            &&& \ddots &&&\\
            &&1&& 0 && \\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix},&\quad %&=  E+e_{ij}+e_{ji}-e_{ii}-e_{jj},\quad(\text{其中~}i\neq j),\\
          \begin{pmatrix}
              1 & & & & & & \\
              & \ddots & & & & &\\
              & & 1 & &&&\\
              &&& c &&&\\
              &&&& 1 &&\\
              &&&&& \ddots & \\
              &&&&&& 1
            \end{pmatrix}%&= E+(c-1)e_{ii},
            ~~(\text{其中 $c$ 为非零数}),\\
             \begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 && \varphi(\lambda) && \\
            &&& \ddots &&&\\
            &&&& 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix} &\text{~或~}
        \begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 &&&& \\
            &&& \ddots &&&\\
            && \varphi(\lambda) && 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}% = E+\varphi(\lambda) e_{ij},\quad(\text{其中~}i\neq j).
  \end{aligned}
\]}
由于三类初等变换可逆，初等$\lambda$-矩阵都是可逆的，并且从初等变换的逆操作可知
\end{frame}

\begin{frame}{} 

  {\small
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
            1 &&&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 0 &&1&&\\
            &&& \ddots &&&\\
            &&1&& 0 && \\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}^{-1}&= \text{~该矩阵自己},\\
          \begin{pmatrix}
              1 & & & & & & \\
              & \ddots & & & & &\\
              & & 1 & &&&\\
              &&& c &&&\\
              &&&& 1 &&\\
              &&&&& \ddots & \\
              &&&&&& 1
            \end{pmatrix}^{-1} &= 
          \begin{pmatrix}
              1 & & & & & & \\
              & \ddots & & & & &\\
              & & 1 & &&&\\
              &&& c^{-1} &&&\\
              &&&& 1 &&\\
              &&&&& \ddots & \\
              &&&&&& 1
            \end{pmatrix},\\
\begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 && \varphi(\lambda) && \\
            &&& \ddots &&&\\
            &&&& 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}^{-1}&= 
\begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 && -\varphi(\lambda) && \\
            &&& \ddots &&&\\
            &&&& 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}.
\end{align*}
}
\end{frame}

\begin{frame}{$\symbf{\lambda}$-矩阵的等价}
  \begin{definition}
    $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 称为与 $ B(\lambda)$ \emph{等价} (equivalent)， 如果 $A(\lambda)$可化简至$B(\lambda)$, 即 $ B(\lambda)$ 可以由 $ A(\lambda)$ 经过一系列初等变换将得到。
\end{definition}

~

\pause
等价是 $\lambda$-矩阵之间的一种等价关系：
\begin{enumerate}
  \item 自反性： 每一个 $\lambda$-矩阵与自己等价。

  \item 对称性： 若 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 等价， 则 $ B(\lambda)$ 与 $ A(\lambda)$ 等价。 这是由于初等变换具有可逆性的缘故。

  \item 传递性： 若 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 等价， $ B(\lambda)$ 与 $ C(\lambda)$ 等价， 则 $ A(\lambda)$ 与 $ C(\lambda)$ 等价。

\end{enumerate}

\pause
应用初等变换与初等矩阵的关系即得， 矩阵 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 等价的充分必要条件是有初等$\lambda$-矩阵 $ P_{1},  P_{2}, \cdots,  P_{l}, Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t}$, 使
\[
  P_l\cdots P_2P_1 A(\lambda)Q_1Q_2\cdots Q_t= B.
\]
\end{frame}


\begin{frame}{化简$\symbf{\lambda}$-矩阵至标准形}

这一节主要是证明任意一个 $\lambda$-矩阵可以经过初等变换化为某种对角形。

\begin{theorem}\label{176}
任意一个非零的 $s \times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 都等价于一个下述形式的矩阵：
\[\tag{2}
  \begin{pmatrix}
    d_{1}(\lambda) & & &  \\
  & d_{2}(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_{r}(\lambda) & \\
& & && 0_{(s-r)\times (n-r)} 
\end{pmatrix},
\]
其中 $r \geqslant 1, d_{i}(\lambda)$ ($i=1,2, \cdots, r$) 是首一多项式，且
\[
d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda), \quad i=1,2, \cdots, r-1 .
\]
\end{theorem}
与$A(\lambda)$等价的具有形式(2)的矩阵称为$A(\lambda)$的\emph{标准形} (Smith's canonical form)。
我们会在下一节中证明$\lambda$-矩阵的标准形的唯一性。

~

化标准形的一个常用技巧是通过带余除法消成零或得到次数更低的多项式。
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{example}
\[
  \begin{aligned}
    & \begin{pmatrix}
1-\lambda & 2 \lambda-1 & \lambda \\
\lambda & \lambda^{2} & -\lambda \\
1+\lambda^{2} & \lambda^{3}+\lambda-1 & -\lambda^{2}
\end{pmatrix}
\xrightarrow{c_3+c_1} 
\begin{pmatrix}
1-\lambda & 2 \lambda-1 & 1 \\
\lambda & \lambda^{2} & 0 \\
1+\lambda^{2} & \lambda^{3}+\lambda-1 & 1
\end{pmatrix} \\
& \xrightarrow{c_3\leftrightarrow c_1} 
\begin{pmatrix}
1 & 2 \lambda-1 & 1-\lambda \\
0 & \lambda^{2} & \lambda \\
1 & \lambda^{3}+\lambda-1 & 1+\lambda^{2}
\end{pmatrix} 
\xrightarrow{r_3-r_1} 
\begin{pmatrix}
1 & 2 \lambda-1 & 1-\lambda \\
0 & \lambda^{2} & \lambda \\
0 & \lambda^{3}-\lambda & \lambda^{2}+\lambda
\end{pmatrix}
\\
& \longrightarrow  \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda^{2} & \lambda \\
0 & \lambda^{3}-\lambda & \lambda^{2}+\lambda
\end{pmatrix} 
\xrightarrow{c_2\leftrightarrow c_3} 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & \lambda^{2} \\
0 & \lambda^{2}+\lambda & \lambda^{3}-\lambda
\end{pmatrix}
\\
& \xrightarrow{c_3-\lambda c_2} 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & \lambda^{2}+\lambda & -\lambda^{2}-\lambda
\end{pmatrix} 
\longrightarrow  \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda^{2}+\lambda
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{example}
\pause
\begin{exercise}\label{135}
  化标准形：(1) $\begin{pmatrix}
    \lambda^3-\lambda & 2\lambda^2 \\ \lambda^2+5\lambda & 3\lambda
  \end{pmatrix}$; \hspace{4em} (2) $\begin{pmatrix}
    \lambda^2+ \lambda \\ & \lambda \\ & & (\lambda+1)^2
  \end{pmatrix}$.
\end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}{标准形存在性的证明}
  回想下我们以前通过对阶归纳来证明数字矩阵$A=(a_{ij})$的标准形
  \[
    \begin{pmatrix}
    E_r \\ & 0
  \end{pmatrix}
\]
存在。只要$A$的$(1,1)$位元素$a_{11}$非零，我们就可以用初等变换把第一行和第一列其他元素清零，之后归纳就行了。
  现在想想$\lambda$-矩阵$A(\lambda)=(a_{ij})$能化简到的可能的最简单的形式。
  容易发现我们没法做到$\begin{pmatrix}
    E_r \\ & 0
  \end{pmatrix}$. 把其中的$1$换成多项式也许是可能的；也就是定理~\ref{176}~中的形式 (2).
  当然我们在定理~\ref{176}~中断言的形式 (2) 更强，满足更多性质，尤其是$d_1(\lambda)\mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_r(\lambda)$.
  如果我们期望定理中断言的标准形存在，那至少我们试下单纯的形式(2)是否可达。
  如果形式 (2) 可达，我们可以接着尝试可不可以做到更好，让$d_1(\lambda)\mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_r(\lambda)$.
  下面我们分两步证明标准形的存在性。(上课时我会按照课本上的证明讲)


\begin{exercise}
  整数环$\ZZ$与形式多项式环$P[\lambda]$有类似的性质，特别是我们有带余除法。
  试着定义整数矩阵的初等行变换和初等列变换。
  如果我们对整数矩阵作化简（行化简和列化简），可以化简到何样？
  类比于$\lambda$-矩阵想想。
\end{exercise}


  \end{frame}

\begin{frame}
  \textit{第一步}：我们证明形式 (2) 可达。$a_{11} \neq 0$很好处理：既然$A(\lambda)\neq 0$, 故存在$a_{ij}\neq 0$.
    做初等变换$r_i\leftrightarrow r_1, c_j\leftrightarrow c_1$后所得矩阵满足所要求；
    这样我们可设$a_{11}\neq 0$.
    不像数字矩阵，$A(\lambda)$的$(1,1)$位元素非零不能立刻把第一行和第一列其他元素清零，
    因为$a_{11}$不见得整除其他的$a_{1j}$和$a_{i1}$.
    那么我们该怎么办呢？用带余除法降次数。
    例如，若$a_{11} \nmid a_{1i}$, 令$a_{1i} = a_{11} q +r$, 其中$r \neq 0$且$\partial r < \partial a_{11}$. 
    此时我们可做如下的化简：
    \[
      A(\lambda) \xrightarrow{c_i-c_1 \times q}
      \begin{pmatrix}
        a_{11} & \cdots & r & \cdots \\
        \vdots & & \vdots & 
      \end{pmatrix}\xrightarrow{c_1\leftrightarrow c_i}
      \begin{pmatrix}
        r & \cdots & a_{11} & \cdots \\
        \vdots & & \vdots & 
      \end{pmatrix}\xlongequal{\text{重记为}} A'(\lambda)=(a_{ij}').
    \]
    注意到$\partial a_{11}'=\partial r <\partial a_{11}$. 
    这样只要$(1,1)$位元素不整除第一行和第一列的其他元素，那么我们就可以通过初等变换把$(1,1)$位元素的次数降下来。
    但是$(1,1)$位元素的次数不能无限地严格下降下去，所以有限次类似的操作后我们可设
    $(1,1)$位元素整除第一行和第一列的其他元素，从而可以把这些元素清零。
    此时，化简所得的矩阵形如
    $\begin{pmatrix}
      d_1'(\lambda)\\
      & A_1(\lambda)
    \end{pmatrix}$, 其中$d_1'(\lambda)\neq 0$. 进而对阶归纳可知
    $A(\lambda)$可化简为形如
    \[\tag{3}
  \begin{pmatrix}
    d_{1}'(\lambda) & & &  \\
  & d_{2}'(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_{r}'(\lambda) & \\
& & && 0
\end{pmatrix}.
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  \textit{第二步}：证明可以做到$d_1(\lambda)\mid \cdots \mid d_r(\lambda)$且$d_i(\lambda)$首一。
  关键是实现$d_1(\lambda)\mid \cdots \mid d_r(\lambda)$.
  设我们已达到形式 (3). 若对某个$i$有$d_1'\nmid d_i'$, 那么我们做如下的化简：
    \begin{align*}
      \begin{pmatrix}
      d_1' & & &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & d_i'  & && \\
      & & & \ddots & & \\
      & && &  d_r' & \\
      & & &&&  0
    \end{pmatrix}
    \xrightarrow{r_1+r_i}
     \begin{pmatrix}
      d_1' & & d_i' &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & d_i'  & && \\
      & & & \ddots & & \\
      & && &  d_r' & \\
      & & &&&  0
  \end{pmatrix}.
  \end{align*}
接着按照第一步的操作我们可以进一步化简至形如
$\begin{pmatrix}
  d_1'' \\ &A_2
\end{pmatrix}$, 其中$d_1''\neq 0$且$\partial d_1''<\partial d_1'$;
进而化简至形如
\[
  \begin{pmatrix}
     d_1'' & & &  \\
      & d_2'' & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_r'' & \\
& & && 0
\end{pmatrix}.
\]
注意这样的操作中，$(1,1)$位元素的次数在严格下降。
由于$(1,1)$位元素的次数不能无限地严格下降下去，有限步这样的化简后我们可得

\end{frame}

\begin{frame}

  \[
  \begin{pmatrix}
      \tilde{d}_1 & & &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & \tilde{d}_i  & && \\
      & & & \ddots & &\\
      & && &  \tilde{d}_r & \\
      & & &&&  0
  \end{pmatrix},
  \]
  满足
  $\tilde{d}_{1}\mid \tilde{d}_{i}$. 
  一般地，只要对某个$i<j$有$d_i'(\lambda)\nmid d_j'(\lambda)$, 我们就可做类似的操作，
  让$d_i'(\lambda)$的次数严格下降。
  由于次数不能无限地严格下降，最终我们可达到形如
\[
  \begin{pmatrix}
    d_{1}(\lambda) & & &  \\
  & d_{2}(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_{r}(\lambda) & \\
& & && 0
\end{pmatrix},
\]
其中 $r \geqslant 1$, 且$d_i(\lambda)\neq 0$,
\[
d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda), \quad i=1,2, \cdots, r-1 .
\]
显然我们还可以做到$d_i(\lambda)$都首一。证毕。

\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}{标准形存在性的证明}
  
  \begin{proof}
    证明过程要做若干步的归约。设$A(\lambda)=(a_{ij})$. 

    \pause
    第一步（归约）：我们可设$a_{11}\neq 0$. 既然$A(\lambda)\neq 0$, 故存在$a_{ij}\neq 0$.
    做初等变换$r_i\leftrightarrow r_1, c_j\leftrightarrow c_1$后所得矩阵满足所要求。

    \pause
    第二步（归约）：我们可设$a_{11}\mid a_{1i}, a_{11}\mid a_{j1}$, 对任意的$i, j$.
    若$a_{11}\nmid a_{1i}$, 令$a_{1i} = a_{11}q+r$, 其中$r\neq 0$且$\partial r < \partial a_{11}$. 
    此时我们可做如下的化简：
    \[
      A(\lambda) \xrightarrow{c_i-c_1 q}
      \begin{pmatrix}
        a_{11} & \cdots & r & \cdots \\
        \vdots & & \vdots & 
      \end{pmatrix}\xrightarrow{c_1\leftrightarrow c_i}
      \begin{pmatrix}
        r & \cdots & a_{11} & \cdots \\
        \vdots & & \vdots & 
      \end{pmatrix}\xlongequal{\text{重记为}} A'(\lambda)=(a_{ij}').
    \]
    注意到$\partial a_{11}'=\partial r <\partial a_{11}$. 
    若依然有$a_{11}'\nmid a_{1i}'$（对某个$i$）, 我们类似地可进一步化简得
    $A''(\lambda)=(a_{ij}'')$, 满足$a_{11}''\neq 0$且$\partial a_{11}'' < \partial a_{11}'$.
    由于$(1,1)$位元素的次数不能无限地严格下降下去，有限步这样的化简后可得到$\tilde{A}(\lambda)=(\tilde{a}_{ij})$满足
    $\tilde{a}_{11}\mid \tilde{a}_{1i}$. 
    类似地，我们可以最终化简得到$\bar{A}(\lambda)=(\bar{a}_{ij})$, 
    满足$\bar{a}_{11}\mid \bar{a}_{1i}, \bar{a}_{11}\mid \bar{a}_{j1}$, 对任意的$i, j$.
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    第三步：设$A(\lambda)$满足第二步中的假设。一旦如此，我们可以通过$a_{11}$把第一行和第一列的其他元素都清零，从而得到形如
    $\begin{pmatrix}
      a_{11} \\
      & A_1
    \end{pmatrix}$的矩阵。
既然$A(\lambda)\neq 0$都可化简至形如$\begin{pmatrix}
   d_1'\\
      & A_1
    \end{pmatrix}$（其中$d_1'\neq 0$）, 数学归纳法告诉我们$A(\lambda)$可化简至形如
    \[\tag{3}
  \begin{pmatrix}
     d_1' & & &  \\
      & d_2' & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_r' & \\
& & && 0_{(s-r)\times (n-r)} 
\end{pmatrix},
\]
其中$d_i'\neq 0$.

\pause
第四步（归约）：设$A(\lambda)$形如(3), 那么我们进一步可设$d_1'\mid d_i'$, 对任意的$i$.
若对某个$i$$d_1'\nmid d_i'$, 那么我们做如下的化简：
{\small
    \begin{align*}
      A(\lambda) =    \begin{pmatrix}
      d_1' & & &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & d_i'  & && \\
      & & & \ddots & & \\
      & && &  d_r' & \\
      & & &&&  0_{(s-r)\times (n-r)} 
    \end{pmatrix}
    \xrightarrow{r_1+r_i}
     \begin{pmatrix}
      d_1' & & d_i' &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & d_i'  & && \\
      & & & \ddots & & \\
      & && &  d_r' & \\
      & & &&&  0_{(s-r)\times (n-r)} 
  \end{pmatrix}.
  \end{align*}
}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
接着按照第二步的操作我们可以进一步化简至形如
$\begin{pmatrix}
  d_1'' \\ &A_2
\end{pmatrix}$, 其中$d_1''\neq 0$且$\partial d_1''<\partial d_1'$;
再接着按照第三步的操作我们可以进一步化简至形如
\[
  \begin{pmatrix}
     d_1'' & & &  \\
      & d_2'' & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_r'' & \\
& & && 0_{(s-r)\times (n-r)} 
\end{pmatrix}.
\]
由于$(1,1)$位元素的次数不能无限地严格下降下去，有限步这样的化简后可得到
\[
  \tilde{A}(\lambda)=\begin{pmatrix}
      \tilde{d}_1 & & &  &&\\
      & \ddots & & && \\
      & & \tilde{d}_i  & && \\
      & & & \ddots & &\\
      & && &  \tilde{d}_r & \\
      & & &&&  0_{(s-r)\times (n-r)} 
  \end{pmatrix},
  \]
  满足
  $\tilde{d}_{1}\mid \tilde{d}_{i}$. 
  由$i$的任意性可知我们的归约可实现。
\end{proof}


\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
第五步：类似地，我们可以做到$d_{i}'\mid d_{j}'$, 对任意的$i<j$. 
这样$A(\lambda)$最终形如
\[
  \begin{pmatrix}
    d_{1}(\lambda) & & &  \\
  & d_{2}(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_{r}(\lambda) & \\
& & && 0_{(s-r)\times (n-r)} 
\end{pmatrix},
\]
其中 $r \geqslant 1$, 且$d_i\neq 0$,
\[
d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda), \quad i=1,2, \cdots, r-1 .
\]
显然我们还可以假设$d_i(\lambda)$都首一。
  \end{proof}
\end{frame}
\fi

\begin{frame}
\begin{exercise}
  化简下列$\lambda$-矩阵至标准形：
  
  \parbox{6cm}{(1) $\begin{pmatrix}
        1-\lambda & \lambda^2 & \lambda \\
        \lambda & \lambda & -\lambda \\
        1+\lambda^2 & \lambda^2 & -\lambda^2
    \end{pmatrix}$.}
    (2) $\begin{pmatrix}
        3\lambda^2 + 2\lambda -3 & 2\lambda-1 & \lambda^2+2\lambda-3\\
        4\lambda^2 +3\lambda -5 & 3\lambda-2 & \lambda^2+3\lambda-4\\
        \lambda^2+\lambda-4 & \lambda-2& \lambda-1
      \end{pmatrix}$.

      \parbox{6cm}{(3) $\begin{pmatrix}
        \lambda+\alpha & \beta & 1 & 0\\
        -\beta& \lambda+\alpha & 0 &1 \\
        0 & 0 & \lambda+\alpha & \beta\\
        0 & 0 & -\beta & \lambda+\alpha
    \end{pmatrix}$.}
    (4) $\begin{pmatrix}
        & & & \lambda^2 \\
        & & \lambda^2-\lambda \\
        & (\lambda-1)^2 \\
        \lambda^2-\lambda
      \end{pmatrix}$.
\end{exercise}

\pause
\begin{exercise}\label{1B8}
若只对$\lambda$-矩阵做行化简，可以化简到什么地步？以前我们解如下的含参数$\lambda$的线性方程组时就遇到过这种问题：
\[
      \left\{\begin{array}{rrrl}
        (\lambda+3)x_1 & + x_2 & + 2x_3&= \lambda\\
        \lambda x_1 & +(\lambda-1)x_2 & +x_3 &= 2\lambda\\
        3(\lambda+1)x_1  & +\lambda x_2 &+(\lambda+3)x_3 &=  3.
      \end{array}
    \right.
\]
\end{exercise}

\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为$\lambda$-矩阵的初等变换？何为初等$\lambda$-矩阵？初等矩阵的逆是？
      如何用初等矩阵乘实现初等变换（说清楚具体用何矩阵）？
      \pause
    \item 何为两个$\lambda$-矩阵等价？
      \pause
    \item $\lambda$-矩阵的等价标准形何样？
      \pause
    \item 说说你化$\lambda$-矩阵到标准形的体会。
  \end{enumerate}
\end{frame}
